Funciones

Sean X, Y conjuntos. Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada ƒ(x) existe un solo elemento y ϵ Y. Finalmente:


<> ϵ ƒ
“La función ƒ es una relación de X a Y”.

ƒ(x) = y
“ƒ mapea de X a Y”.

ƒ: X → Y
“ƒ transforma X en Y”, donde: X es el dominio y Y es la imagen.
Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X existe una yϵ Y , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.

Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función inversa, ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x) = y



Aqui esta una grafica deuna Funcion Inversa.

(SUS CONDICIONES)



Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Ejemplos


La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales



Función con Dominio X y Codominio Y


Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.


En la figura se puede apreciar una función , con




Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,




Esta función representada como relación, queda:


Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:


Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.


Ejemplo: y=x+2.


Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.


Ejemplo: X -2 -1 0 1 2 3
Y 0 1 2 3 4 5


Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.


Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}


Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.


Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".