Derivada

En geometría, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

Identidades de diferenciación
(Matemática Cálculo Derivadas Identidades)
Definiciones de la derivada:df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x)) / dx (derecho)df / dx = lim (dx -> 0) (f(x) - f(x-dx)) / dx (izquierdo)df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2dx) (ambos lados)
f(t) dt = f(x) (Teorema fundamental para derivadas)
c f(x) = c f(x) (c es una constante)
(f(x) + g(x)) = f(x) + g(x)
f(g(x)) = f(g) * g(x) (regla de la cadena)
f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g '(x) (regla de producto)
f(x)/g(x) = ( f '(x)g(x) - f(x)g '(x) ) / g^2(x) (regla de cociente)
Identidades de diferenciación parcial
si f( x(r,s), y(r,s) )
df / dr = df / dx * dx / dr + df / dy * dy / dr
df / ds = df / dx * dx / ds + df / dy * dy / ds
si f( x(r,s) )
df / dr = df / dx * dx / dr
df / ds = df / dx * dx / ds

Derivadas orientables
df(x,y) / d(Xi sub a) = f1(x,y) cos(a) + f2(x,y) sin(a)
(Xi sub a) = ángulo en opuesto de las agujas del reloj desde el eje positivo x.

m = Δy/ΔxÞm = tg α
y2´ = f´(x)
pero y2´ en a:
tg α = f´(a) Þm = f´(a)
por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a,es:
y1 = f´(a).x + b
Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.
1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.
a- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
b- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
c- el resultado es la pendiente m.
m = f´(a)
d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
y1 = m.(x - a) + ya
2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.
a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
y1 = y2 Þm.x + b = f(x)
b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.
c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.
d- el punto de intersección será:
P(a; ya)
e- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
f- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
g- verificar que f´(a) sea igual a m.
y2´ = m
3) Dada una recta cualquiera (y = m3.x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva.
a- la pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
m3 = m1
b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
m3 = f´(a) Þm3 = f´(x)
c- despejar el x = a.
d- con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya.
e- el punto de intersección será:
P(a; ya)
f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
y1 = m3.(x - a) + ya
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