Fórmula general

Ecuación cuadráticaFórmula general

Ecuación cuadrática/Fórmula general

Saltar a navegación, búsqueda

Consideremos la ecuación cuadrática general ax² + bx + c = 0

Se puede resolver al completar el cuadrado.

se debe tener en cuenta que b² debe ser mayor que si es asi X obtendra dos valores reales y diferentes

si b² es menor que los resultados de X seran dos valores con parte real y parte compleja

y si b² es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.

GVG

Obtenido de "http://es.wikibooks.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica/F%C3%B3rmula_general"

Sucesiones y series

Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita

Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
  





• 100º término, o
  





• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
  

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1

Posición del término
Es normal usar xn para los términos:
xn es el término
n es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Derivada

En geometría, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

Identidades de diferenciación
(Matemática Cálculo Derivadas Identidades)
Definiciones de la derivada:df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x)) / dx (derecho)df / dx = lim (dx -> 0) (f(x) - f(x-dx)) / dx (izquierdo)df / dx = lim (dx -> 0) (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2dx) (ambos lados)
f(t) dt = f(x) (Teorema fundamental para derivadas)
c f(x) = c f(x) (c es una constante)
(f(x) + g(x)) = f(x) + g(x)
f(g(x)) = f(g) * g(x) (regla de la cadena)
f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g '(x) (regla de producto)
f(x)/g(x) = ( f '(x)g(x) - f(x)g '(x) ) / g^2(x) (regla de cociente)
Identidades de diferenciación parcial
si f( x(r,s), y(r,s) )
df / dr = df / dx * dx / dr + df / dy * dy / dr
df / ds = df / dx * dx / ds + df / dy * dy / ds
si f( x(r,s) )
df / dr = df / dx * dx / dr
df / ds = df / dx * dx / ds

Derivadas orientables
df(x,y) / d(Xi sub a) = f1(x,y) cos(a) + f2(x,y) sin(a)
(Xi sub a) = ángulo en opuesto de las agujas del reloj desde el eje positivo x.

m = Δy/ΔxÞm = tg α
y2´ = f´(x)
pero y2´ en a:
tg α = f´(a) Þm = f´(a)
por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a,es:
y1 = f´(a).x + b
Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva.
1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente.
a- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
b- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
c- el resultado es la pendiente m.
m = f´(a)
d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado.
y1 = m.(x - a) + ya
2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva.
a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones.
y1 = y2 Þm.x + b = f(x)
b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a.
c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya.
d- el punto de intersección será:
P(a; ya)
e- derivar la función de la curva.
y2´ = f´(x)
f- reemplazar en la derivada x por el valor a.
y2´ = f´(a)
g- verificar que f´(a) sea igual a m.
y2´ = m
3) Dada una recta cualquiera (y = m3.x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva.
a- la pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1).
m3 = m1
b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección.
m3 = f´(a) Þm3 = f´(x)
c- despejar el x = a.
d- con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya.
e- el punto de intersección será:
P(a; ya)
f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado.
y1 = m3.(x - a) + ya
• Si utilizaste el contenido de esta página no olvides citar la fuente "Fisicanet"

Limites y Continuidad

LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x
f (x)
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
x - 2
f (x) - 3
1.9-2 = 0.1
1.99-2 = 0.01
1.999-2 = 0.001
1.9999-2 = 0.0001
2.0001-2 = 0.0001
2.001-2 = 0.001
2.01-2 = 0.01
2.1-2 = 0.1
2.61-3 = 0.39
2.9601-3 = 0.0399
2.996001-3 = 0.003999
2.99960001-3 = 0.00039999
3.00040001-3 = 0.00040001
3.004001-3 = 0.004001
3.0401-3 = 0.0401
3.41-3 = 0.41

Funciones

Sean X, Y conjuntos. Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada ƒ(x) existe un solo elemento y ϵ Y. Finalmente:


<> ϵ ƒ
“La función ƒ es una relación de X a Y”.

ƒ(x) = y
“ƒ mapea de X a Y”.

ƒ: X → Y
“ƒ transforma X en Y”, donde: X es el dominio y Y es la imagen.
Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X existe una yϵ Y , y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.

Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una función inversa, ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x) = y



Aqui esta una grafica deuna Funcion Inversa.

(SUS CONDICIONES)



Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Ejemplos


La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales



Función con Dominio X y Codominio Y


Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.


En la figura se puede apreciar una función , con




Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,




Esta función representada como relación, queda:


Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:


Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.


Ejemplo: y=x+2.


Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.


Ejemplo: X -2 -1 0 1 2 3
Y 0 1 2 3 4 5


Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.


Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}


Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.


Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Numeros Reales

Existen varias formas de abordar los números reales, la más conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivo N = {1,2,3,…} por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de Peano y cons


En matemáticas, los números reales pueden ser descritos informalmente de varias formas, las cuales aunque accesibles al lego, no tienen el rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas. En primera instancia, se puede describir a los números reales como todos aquellos que poseen una expansión decimal. Los números reales incluyen tanto a los números racionales como 31, 25.4, 37/22, así como a los números irracionales tales como

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó eventualmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1]




Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos :


1/4 = 0.750000... es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer decimal.


5/7 = 0.7142857142857142857.... es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).


es irracional y su expansión decimal es aperiódica



Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del binomio qx=p. Sin embargo, no se cumple el recíproco, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8
Un ejemplo de número trascendente es